每日一题:大逃离

题意

从 $n$ 个数中任选 $k$ 个数,取得这 $k$ 个数中最大的一个数,求每个数被取得的概率。$(n, k \in [1, 2e5])$

Solution

将数组排序后,枚举每个数被作为最大值的可能性,当第 $i$ 个数作为最大值时,其它 $k - 1$ 个一定从前 $i - 1$ 个里面选,即方案数为 $C(i - 1, k - 1)$,将其除以总方案数 $C(n, k)$ 即为被取得概率。

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每日一题:至少被一个元素整除的数个数

题目

给定一个 $m$ 个元素的集合,问 $1-n$ 中有多少个数能被集合中至少一个元素整除。$(n <= 1e9, m <= 20)$

Solution

容斥原理,二进制枚举集合的所有子集,求子集的 $lcm$,如果子集大小是奇数,则 $res += n / lcm$,否则 $res-= n / lcm$。

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每日一题:物质分裂

题目

一个 $A$ 每天可以生产 $x1$ 个 $B$,$y1$ 个 $C$,一个 $B$ 每天可以生产 $x2$ 个 $A$,$y2$ 个 $C$,一个 $C$ 每天可以生产 $x3$ 个 $A$,$y3$ 个 $B$,最开始各有 $x,y,z$ 个,问 $n$ 天后各有多少个? $n = 1e9$

Solution

$B$ 和 $C$ 每天可以生产 $x2 + x3$ 个 $A$,那么第一天:$x$,第二天:$x(x2+x3)$,第三天:$(x(x2+x3))*(x2+x3)$ … 显然是等比数列求和。

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杜教BM模板

用于求线性递推式第n项,扔进前k+x项即可

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cassert>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i < n; i++)
#define per(i, a, n) for (int i = n - 1; i >= a; i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<ll> VI;
typedef pair<ll, ll> PII;
const ll mod = 10000;
ll powmod(ll a, ll b) {
ll res = 1;
a %= mod;
assert(b >= 0);
for (; b; b >>= 1) {
if (b & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
}
return res;
}
ll _, n;
namespace linear_seq {
const ll N = 10010;
ll res[N], base[N], _c[N], _md[N];
vector<ll> Md;
void mul(ll *a, ll *b, int k) {
rep(i, 0, k + k) _c[i] = 0;
rep(i, 0, k) if (a[i]) rep(j, 0, k) _c[i + j] =
(_c[i + j] + a[i] * b[j]) % mod;
for (ll i = k + k - 1; i >= k; i--)
if (_c[i])
rep(j, 0, SZ(Md)) _c[i - k + Md[j]] =
(_c[i - k + Md[j]] - _c[i] * _md[Md[j]]) % mod;
rep(i, 0, k) a[i] = _c[i];
}
ll solve(ll n, VI a, VI b) {
ll ans = 0, pnt = 0;
ll k = SZ(a);
assert(SZ(a) == SZ(b));
rep(i, 0, k) _md[k - 1 - i] = -a[i];
_md[k] = 1;
Md.clear();
rep(i, 0, k) if (_md[i] != 0) Md.push_back(i);
rep(i, 0, k) res[i] = base[i] = 0;
res[0] = 1;
while ((1ll << pnt) <= n) pnt++;
for (ll p = pnt; p >= 0; p--) {
mul(res, res, k);
if ((n >> p) & 1) {
for (ll i = k - 1; i >= 0; i--) res[i + 1] = res[i];
res[0] = 0;
rep(j, 0, SZ(Md)) res[Md[j]] = (res[Md[j]] - res[k] * _md[Md[j]]) % mod;
}
}
rep(i, 0, k) ans = (ans + res[i] * b[i]) % mod;
if (ans < 0) ans += mod;
return ans;
}
VI BM(VI s) {
VI C(1, 1), B(1, 1);
ll L = 0, m = 1, b = 1;
rep(n, 0, SZ(s)) {
ll d = 0;
rep(i, 0, L + 1) d = (d + (ll)C[i] * s[n - i]) % mod;
if (d == 0)
++m;
else if (2 * L <= n) {
VI T = C;
ll c = mod - d * powmod(b, mod - 2) % mod;
while (SZ(C) < SZ(B) + m) C.pb(0);
rep(i, 0, SZ(B)) C[i + m] = (C[i + m] + c * B[i]) % mod;
L = n + 1 - L;
B = T;
b = d;
m = 1;
} else {
ll c = mod - d * powmod(b, mod - 2) % mod;
while (SZ(C) < SZ(B) + m) C.pb(0);
rep(i, 0, SZ(B)) C[i + m] = (C[i + m] + c * B[i]) % mod;
++m;
}
}
return C;
}
ll gao(VI a, ll n) {
VI c = BM(a);
c.erase(c.begin());
rep(i, 0, SZ(c)) c[i] = (mod - c[i]) % mod;
return solve(n, c, VI(a.begin(), a.begin() + SZ(c)));
}
}; // namespace linear_seq
int main() {
while (~scanf("%lld", &n) && n != -1) {
vector<ll>v;
v.push_back(0);
v.push_back(1);
v.push_back(1);
v.push_back(2);
v.push_back(3);
v.push_back(5);
v.push_back(8);
v.push_back(13);
v.push_back(21);
v.push_back(34);
printf("%lld\n", linear_seq::gao(v, n));
}
return 0;
}

每日一题:逆序对

题意

题意很简单,求长度为n的01串逆序对数量和。( n <= 1e18 )

solution

任意选两个位置 $i, j$ $(i < j)$,令 $a[i] = 1, a[j] = 0$,这样一定能产生逆序对,这样有 $C_n^2$ 种选法。剩下的位置随便放,有$2^{n-2}$种选法,总方案数即为答案。( 注意 1 需要特判 )

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