每日一题：不同子序列个数(升级版)

题意

给定一个长度为 $n$ 的数组，求长度为 $n-m$ 的不同子序列个数。（$1<=n<=1e5, m<=10$）

Solution

$dp[i][j]$ 表示长度为 $i$，删除 $j$ 个元素的子序列个数，不考虑重复的话，有 $dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]$（即已经删除了 $j$ 个和已经删除了 $j-1$ 个再删除这一个的情况）。

考虑去重。如果是单纯求不限长度的不同子序列的去重，容易得到：$dp[i] -= dp[pre[a[i]] - 1]$ （$pre[a[i]]$ 为上一次 $a[i]$ 出现的位置），在此题中也是同理，我们需要剔除 $[pre[a[i]], i]$ 之间的元素，假设我们当前需要剔除 $j$ 个元素，那么在$pre[a[i]]-1$之前我们先需要剔除 $j-(i-pre[a[i]])$ 个元素， $dp[i][j] -= dp[pre[a[i]]-1][j-(i-pre[a[i]])]$，初始化为所有的 $dp[i][0] = 1$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, k, pre[N], dp[N][12];
int main() {
  while (cin >> n >> m >> k) {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int x;
      cin >> x;
      for (int j = 1; j <= min(i, m); j++) {
        dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod;
        if (pre[x] && j - (i - pre[x]) >= 0)
          dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[pre[x] - 1][j - (i - pre[x])] + mod) % mod;
      }
      pre[x] = i;
    }
    cout << dp[n][m] << '\n';
  }
  return 0;
}